再读曼昆《经济学原理》 篇五：没有完美的投票制度——阿罗不可能性定理

前言

这一篇内容在燃尽编写关于onenote的介绍的那篇时已经在图片里预告了，是《经济学原理》中关于投票制度的一个问题，刚好最近刚结束的NBA全明星扣篮大赛中，阿隆·戈登再次第三次无缘扣篮大赛冠军，让炮火一时都冲到了韦德身边，也如封面图所示，这种打分制度的投票模式本身存在其不完美的特性在其中。且不说热火名宿是否需要避嫌、这种打分投票是否存在过度依赖于某一个打分员的主观评价，根据诺贝尔经济学奖获得者肯尼斯·约瑟夫·阿罗提出的阿罗不可能性定理（Arrow's impossibility theorem），就指出了有违主观判断的一个事实，即没有“完美”的投票制度（对于多于3个可选项时，也就是面对扣篮大赛的第一轮时）。

本篇内容是在《经济学原理》第22章的22.2政治经济学部分提出的，有关投票制度也不单单是《经济学原理》所主要覆盖的西方经济学理论，而是跨西方经济学、政治经济学、数学多学科的内容。

• 如何定义“完美”的投票机制：

在开始本篇内容前，先说一下何为阿罗所假设（设想）的“完美”的投票机制，即在社会中每个人都对A、B、C等有偏好（至少三个可选项）：

（1）确定性/一致性（Unanimity）：如果每个人对于A的偏好都大于B，那么归总的社会评价就是A优于B；

（2）传递性（Transitivity）：对于社会评价和个人评价均应满足，如果A优于B，B优于C，那么A优于C；

（3）其他不相关选择的独立性（Independence of irrelevant alternatives）：任何两个结果A和B之间的排序，不应取决于是否可以得到其他的结果C，即只要所有人对于A和B的排序相对位置没有变化，那么社会评价的A和B的相对位置不应该变化。

（4）没有独裁者（No dicatators）：无论每个人的偏好如何，都没有一个人能始终控制最后的社会评价。

• 这里需要多注释一下：

以上内容结合经济学原理的描述和燃尽对这个定理的个人理解，将其描述的更容易懂了一些；

一些地方看到的阿罗不可能定理会强调为5个条件，是将最后一个独裁者的描述拆成了两个，包括了一个“投票者的任何一种投票都是被允许的”，就是说所有投票人想怎么投就怎么投，而投票机制是可以将任何投票人的投票结果转化为有代表性的社会评价的；

确定性意味着，如果这群投票的人都认为A比B好，完美的社会投票制度下，体现出的社会评价应该就是A比B好；

传递性意味着，对于个人以及社会，备选项是可排序的，并不存在像“石头、剪刀、布”那样的选择；

不相关选择的独立性意义也很大，是说社会反映个人对于两个事物的优劣评价不应随着是否有第三方而产生改变，只要每个人对于这两个事物的优劣确定，那么社会对于这两个事物的评价应该是确定不变的；

无独裁者，非常好理解，这个投票机制下，不会因机制的确定而明确了一个人，无论这个人对于各个备选项的排序如何，他对于所有备选项优劣如何排序与该机制产生的社会评价一直相同，即他完全掌控着社会评价。

本篇提纲

• 前排提示

本篇很硬核，并且会包含关于阿罗不可能性定理的数学证明，有兴趣的话可以细细品味，对于数学一看就吐的了解了解一些关于投票制度的理论也不错：

1，康多塞投票悖论；

2，博达计算——给投票赋个值；

3，中值选民定理——如何获取多数人的偏好支持；

4，阿罗不可能性定理——含大篇幅的证明，有兴趣的可以来看。

1，康多塞投票悖论

康多塞投票悖论（The Condorcet Voting Paradox，也有翻译为孔多塞）是有18世纪法国的政治经济学家马奎斯·康多塞提出的，在执行多数原则（即少数服从多数）时会遇到一些问题。

康多塞悖论：

多数原则没哟偶产生可传递的社会偏好。

• 以下用活动投票选出更喜欢的跑鞋品牌的假设来做例子说一下这个悖论：

比如说现在有Nike，Adidas，Asics三个品牌让人来投票，由100名值友给三个品牌的喜好进行第一、二、三选择投票排序，投票排序结果如下图所示：

如上的投票结果就会出现康多塞悖论，如果单纯让所有人都在adidas、nike、asics中选出心目中最好的，那么有40个人认为nike是最好的，这种多数原则产生的结果可以代表社会（这100个值友）对于运动品牌的正确评价呢？

其实并不然，因为可以看到第一列和第三列的那60位值友，他们均认为asics比nike要好，也就是说100个人里有60人（多数的人）认为nike不如asics，即asics>nike。然后多数原则让社会评价的结果是nike最好。本来当备选项只有nike和asics对比的话，多数人认为asics是最好的，当多出了一个选项后，反而社会评价变为了nike是最好的，就意味着“多数原则”产生的社会评价并不具备其他不相关选择的独立性。

同样，当备选项只有nike和adidas这两个品牌的话，那么第二列和第三列的65位值友支持nike优于adidas，即nike>adidas。

而当备选项只有asics和adidas两个品牌的话，第一列和第二列的75个值友认为adidas优于asics，即adidas>asics，于是这种“多数原则”产生的社会评价也并不符合更完美的期望的传递性，即出现了asics>nike、nike>adidas、adidas>asics的循环。康多塞悖论也就此提出了两两投票是否会产生传递性的社会评价，取决于个人的评价偏好。

• 康多塞悖论的结论：

狭义结论：当可选择的项有超过2种以上的时候，最终形成的“民主”投票结果会依赖于投票的顺序流程，比如“跨界xx王”会采用的车轮战比拼方式下，出场顺序的变化可能会影响最终的投票结果。

广义结论：多数投票机制下，产生的最终结果，其实并没有完全体现全体投票人想要的是什么，只是个相对的“民主”。

2，博达计算

博达计算（Borda count）是由18世纪法国的数学家和政治学家博达提出的一种投票方式，用来解决康多塞悖论产生的“不那么民主”，这种方式在很多领域的票选中都会应用，但也存在其中不完美的一面。

博达计算将每个排序选项都附上了分值，这样对比在多选项票选里的任何两个选项的优劣的时候，其总的社会评分直接代表了社会对其评价的优劣。

• 同样上述的投选跑鞋为例：

在每个值友对于三个品牌进行排序，并且附上相应的分，即值友对心目中最喜欢的跑鞋品牌打3分，次之的打2分，第三位的打1分，这样在前一则例子的基础上，形成了如上的赋分系统。

这时汇总一下每个品牌的的分，可以看到总得分Adidas最高为210，次之的是nike的205，第三的是asics的185分，“我永迪”这次取胜了。相比较普通的多数原则来看，一则社会评价反映出的结果变了，并不再是40值友占大多数最喜欢的nike获胜；其次，这个系统将每个品牌的排序给了出来，在社会评价下出现了adidas>nike>asics的结果并且不存在两两对比与传递性相悖的地方。

当然这种博达计算的计票方式，也存在固有弊端，就是系统对于第一、二、三名赋分的多少对于结果是有影响的，比如改成第一名得3分，第二名得1分，第三名得0分，那么结果adidas就会和nike并列第一了。而且，康多塞悖论里面举得多数原则投票的例子，也可以看成是第一名1分，其余名次不得分的博达计算。

同时，由于这种计算也必须要在初始评定的时候将所有备选者列出来，如果调整某些选项，比如去掉asics而只对nike和adidas进行2和1分的博达计算，结果又会发生变化。

• 博达计算的总结：
  

博达计算是解决单纯多数原则产生康多塞悖论的一种方案，固定量化每个人对于所有备选项的评价，进而得出量化的社会评价。博达计算的赋值系统，对于结果会产生比较大的影响，不同的赋值方案可能会带来社会评价的不同结果。

• 附，关于扣篮大赛的赋分投票系统
  

虽然扣篮大赛的打分投票模式有些类似于博达计算，但是其本质上出现了差异就是每个人对于候选者的排名与其打分并不是完全挂钩的，存在着因个人意识而可调配的空间，这就带来了更多的主观性和“不公平性”。

例如裁判C认为A比B好，可能给A予以10分，对B评价9分（他认为好和不好通过10和9的比分就能对比出来）；而裁判D认为B比A好，他可能给B10分而给A只有8分（他认为好和不好需要更多的分差来体现，当然也有可能他认为不好的他就要“落井下石”）。这样的情况下总分评定下就是B比A更好些，然而这更多是体现出了裁判D的主观评价，裁判D和裁判C在投票地位是相同的，但是由于投票人的手中可赋值分数过于离散并且缺乏严格约束，导致个人在打分意识上的偏差造成了二位投票人投票的影响力不同，进而整体评价有倾向于这位更决断的“类独裁者”（这个“类独裁者”不是投票机制决定的，而是由个人主观意识所决定的）。

3，中值选民定理

这种投票的模式叫做中值选民说的算（the median voter is king)，英文翻译的相对更生动些。在实际生活中采用多数原则作为投选模式还是普遍的事情，而每个备选项（候选人）都会期待别人将更多的票投给自己。

中值选民定理（median voter theorem）：

数学结论，表明如果要选民沿着一条线选一个点，而且每个选民都想选择距离他偏好更近的点，那么多数原则将选出中值选民最偏好的点。

简单理解就是，“中庸”的往往因为和他人存在更多的相似点，因此会受到更多的青睐。

• 比如做菜比赛的例子：

这个例子随意举的，比如一个烹饪比赛有2名厨师参加，评审都是形形色色的群众101人，口味由偏爱特别清淡（辣度0）到偏爱特别辣（辣度100）均匀分布的，每个评审都更偏好与自己口味相近的菜品。那么一个参赛厨师如果想得到更多评审的青睐，他就应当找到这些口味重中值的那一位，即第51名清淡的那位，选择做辣度是51的菜品。

就如上厨师A选择做辣度为50的，厨师B选择做辣度为80的，那么对于辣度偏好小于65的65个人都会投票给厨师A，而对于辣度偏好大于65的36人则都会投票给厨师B，这样厨师A因选择了贴近中值选民偏好而获胜。

当然这个举例略有不足，因为刚好中值的人也刚好是平均口味的人，这里一定要注意中值是指分布在中间的那一位的偏好，而不是平均偏好。

• 中值选民定理的总结：

中值选民定理介绍的是如果作为两个竞选人之一需要获得更多方的投票支持，选择做更“中庸”的，找到偏好分布正中的那位选民的偏好并且迎合他，胜算就很高。

4，阿罗不可能性定理

来到了本篇开篇内容，关于阿罗不可能性定理，即我们希望找到一种投票方式，对于可候选项有不少于3个的时候，包括A、B、C等，社会所有投票者对于候选项均有偏好，那么同时满足以下这些条件：

（1）确定性/一致性（Unanimity）：如果每个人对于A的偏好都大于B，那么归总的社会评价就是A优于B；

（2）传递性（Transitivity）：对于社会评价和个人评价均应满足，如果A优于B，B优于C，那么A优于C；

（3）其他不相关选择的独立性（Independence of irrelevant alternatives）：任何两个结果A和B之间的排序，不应取决于是否可以得到其他的结果C，即只要所有人对于A和B的排序相对位置没有变化，那么社会评价的A和B的相对位置不应该变化。

（4）没有独裁者（No dicatators）：无论每个人的偏好如何，都没有一个人能始终控制最后的社会评价。

这种“完美”的投票方式是不存在的！！！

也就是说，各方在试图尝试用某种机制体现出“民主”的时候，这种机制汇集形成的社会评价总会在某些方面存在缺陷，让这个社会评价不能完美的体现所有投票人的意愿，或者这个社会评价存在内部逻辑矛盾（不可传递、其他不相关选项非独立）。

看到这里本篇能看的内容就结束了，以下有兴趣者可以看，关于阿罗不可能性定理的数学证明过程，燃尽也是翻了一些资料和他人的解答，结合自我理解综合来说一下。

• 阿罗不可能性的定理数学证明：

已知候选项至少有3个，不妨假设共h个候选项，因此在其中随意找出三个a、b、c，所有的投票人按顺序定义为v1、v2、...vn，共n人，以下反证法，假设存在满足如上前三个条件的投票机制F，产生的总体社会偏好为S，我们来证明这个S一定与某一个投票人vm的投票完全一致，也就是这个投票机制F就决定了有一个vm是独裁者并且这个独裁者可以唯一确定。

先来说存在某个小独裁者，他能决定a以外的所有选项排序：

在一个随意的初始投票情况下，每个v的投票都是随意但是确定的，我们称此时为状态①。

现在调整一个状态②，让每个投票人把a多作为最偏好的，其他选项顺序不变，也就是每个人排序a都排在队首，根据条件（1）的确定性，此时社会评价S里a优于任意一个b，也就是说S里a也是排在队首的，根据条件（3）；S里a以外的其他选项排序未发生变化（同状态①的S里其他选项的顺序）。

再调整一个状态③，让每个投票人把a都作为最不偏好的，其它选项顺序不变，也就是排在个人偏好的队尾，同理根据条件（1），S里a也是排在队尾的；根据条件（3），S里a以外的其他选项排序未发生变化（同状态①的S里其他选项的顺序）。

接下来做一个一步一步调整，由状态②按照投票人顺序v1-vn逐次将a由队首调到队尾直到调成状态③，这个调整的过程中一定是S中a只在队首或队尾。同样是反证法，假设某一个状态x时社会评价S出现了a到了队伍中间，那么可以找到一组b和c，此时在S里b>a>c，那么此时新构造一个状态④，把状态x里所有投票人的c都放在b之前，那么状态④里社会评价S应该有c>b；而考虑状态④中各投票人a的位置和状态x中各投票人a的位置没有变化，都是在队首或者队尾，因此每个人a与b的相对位置都没有变，根据条件（3），状态④和状态x的S里a和b的位置固定不变，即状态④时的S里b>a，同理状态④时的S里a>c，这样就推导出了状态④时的S里c>b、b>a、a>c，与条件（2）的传递性矛盾。因此假设的状态x是不存在的，这个由状态②向状态③调整的过程中，S中a始终在队首或队尾。

因此可以找到刚好是投票人vm将a由队首换到队尾的时候（由状态⑤换成状态⑥），S里对应的a也由队首换到了队尾，状态⑤和状态⑥所有vm以前的人都是a在队首，后面的人都是a在队尾，两个状态差异只是a在队首和队尾。

以下就来证明这个vm就是小独裁者。

先来说状态⑤和状态⑥时，vm的所有a之外的排序都和S的排序完全相同，反证法，假设并不是这样，那么一定存在一组b和c，满足，vm在状态⑤的排序为a>b>c，而S在状态⑤时为a>c>b，vm状态⑥的排序为b>c>a，S在状态⑥ 的排序为c>b>a。

在状态⑤做调整vm的a放在b之后成为状态⑦，那么此时vm的评价为b>a>c，S里由于相对状态⑤所有的a和c的位置都没变，所以S里仍满足a>c；在状态⑥的情况下，调整和状态⑦相同的情况，vm由b>c>a调整为b>a>c，此时因为a和b的所有人投票位置都没有变，所以S在状态⑦里的b和a的相对位置与状态⑥相同，即b>a，同样在状态⑦中未调整状态⑥b和c打的相对位置，因此状态⑦里的S也满足c>b；进而推出状态⑦下，S里满足c>b、b>a、a>c，又与条件（2）的传递性矛盾了，因此假设不成立，在状态⑤和状态⑥时，S里除a之外的所有排序均与vm对这些选项的排序一致。

由状态⑤倒推会状态②，再倒推会状态①，调整的只有所有投票人中a选项的位置，其余选项位置均没有变化，因此在状态①里，同样满足S的a之外的所有选项的排序与vm的完全一致，推出vm是小独裁者。因为在状态①里所有人的投票都是随意的，因此不一定会出现其他投票者与vm的a之外的投票排序均相同，但S一定与vm的a之外选项投票顺序相同，所以vm是唯一确定的。

最终来证明这个唯一确定的小独裁者就是大独裁者，即符合条件（4）的那种。

对于a之外的另一个选项b，vj是对于b之外的所有选项的小独裁者，对于选项c，vk是对于c之外的所有选项的小独裁者。假设vj、vk、vm不是同一个人，那么存在一个状态下vm可以认为b>c，vj认为c>a，vk认为a>b（任意两个是同一个人并不违背条件（2）的传递性），由于其各自的小独裁特性，S里结果是b>c，c>a，a>b，违背了条件（2）的传递性，所以假设不成立，推导出对于任意的b和c，其对应的小独裁者与a对应的小独裁者是同一个人vm，进而对于所有的选项，vm都是去掉这一个选项后的小独裁者。

因为vm可以独裁去掉任意一个选项后的其它选项顺序，且选项数量不少于3，因此vm可以独裁所有选项的顺序，这就是与条件（4）相矛盾的地方了。

因此，最终证明了同时满足条件（1）、（2）、（3）的投票机制一定会唯一确定一名独裁者vm，这样就不满足条件（4）了，因此不存在同时满足四个条件的“完美”投票机制，阿罗不可能性定理证毕！

总结

本篇主要介绍了几种常见的、有所差异的投票统计方式，其主要目的是将投票者各自偏好的投票更“民主”的体现出来，当然每一种投票的方式也存在其固有的弊病，如果我们要制定相关的投票机制时，要在这些优势和弊端中作出理性的权衡取舍。

阿罗不可能性定理，也提出了如果我们想要最“完美”的投票机制，让社会评价更充分、更民主的体现出每个投票人的选择，那是不可能的！我们只能尽量来做到相对的“民主”，关于这个定理的证明估计站内应该是没什么人有兴趣能看完吧 ，不过也摆在这里吧，可以给对经济学或者数学有执着的人多些兴趣点。

多谢各位观看，燃尽这部分也算是拿着复习当学习了，下期再见！