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AI攻克22年数学难题,陶哲轩警告证明已严重消化不良

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20:28

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中国数学教育的问题，可能不是不会教，而是太会教“怎么做题”高中数学里，有几个很有意思的现象。一道题如果可以用大学数学解释，总有人马上告诉你：“这其实是高等数学里的某某问题。”一道题如果存在一个漂亮的技巧，又有人会说：“这是一个二级结论。”而如果有人从教材里找到了原始的方法，便会强调：“其实教材里早就讲过。”表面上看，这只是几种解题方法之间的争论。但如果再往深处看，会发现它们其实指向同一个问题：我们太习惯讨论“这道题应该怎么做”，却很少讨论“数学知识为什么会长成今天这个样子”。这可能才是中国数学教育里最值得讨论的地方。一、高等数学不是不能讲，问题是不能只剩一个名字我并不反对用大学数学的眼光理解高中数学。恰恰相反，我一直认为，高中数学和大学数学不应该是两个完全割裂的世界。函数、极限、导数、向量、概率，这些内容本来就存在连续的发展关系。真正的问题是：我们有没有真正把这条思想上的路铺出来？如果没有，那么所谓“高数视角”，很容易变成另一种术语崇拜。你告诉学生：“这个问题本质上是高等数学里的某某问题。”听起来很高级。但如果他并不知道这里的本质到底是什么，那么这句话除了增加一个名词，并没有真正增加理解。真正有意义的衔接，应该是让学生逐渐看到：高中里研究函数图像的变化，为什么会走向变换；研究一个函数怎样对应另一个函数，为什么会走向映射；研究一个对象的性质，为什么会进一步走向结构，这才是高中数学通往大学数学的路。大学数学真正重要的变化，也不是公式突然变多了，而是数学开始逐渐从“这个东西怎么算”转向“这些对象之间到底有什么关系”。如果高中阶段没有做这样的铺垫，那么学生进入大学以后，当然会觉得数学突然换了一门语言。其实数学并没有突然改变。只是中间那座桥，我们没有真正搭起来。二、最危险的不是二级结论，而是失去了“为什么”我也不反对结论，数学当然需要记忆。一个已经证明过的结论，在解题时当然可以直接使用。问题不在这里，真正危险的是：我们开始把结论本身，当成了数学。一个公式为什么成立？一个定理为什么能推出？为什么这个条件不能少？为什么换一个条件，结论就不成立？这些问题，本来才是数学学习最核心的部分。但在应试环境里，它们很容易被压缩成一句话：“看到这种题，就想到这个结论。”于是很多人会记住越来越多的题型、套路和二级结论。做题速度越来越快，但问为什么的次数，却越来越少。这才是真正的问题。因为数学最值得学习的东西，从来不只是最后写在答案里的那一行，而是：一个人怎样从已知出发，一步一步走向未知。如果把这个过程拿掉，只保留结果，数学就很容易退化成一种题型识别游戏，题目是输入，题型识别是中间步骤，公式和结论是输出，速度当然提高了，但数学本身，却越来越薄。三、教材很重要，但“教材里有”不是讨论的终点还有一种很常见的说法：“教材里有，所以这才是正规的数学方法。”教材当然重要。但教材重要，不代表教材不能被讨论。恰恰因为教材影响着几乎所有学生，我们更应该问：教材是怎样组织数学的？中国高中数学里，一个很值得讨论的问题是：我们虽然大量使用变量、函数、参数这些概念，但在很多教学场景中，数学仍然非常计算化。变量经常只是一个会变化的字母。函数经常被理解成“输入一个数，再算出另一个数”，参数经常只是“分类讨论时多出来的一个字母”。所以很多的人学了很多“变量”，却未必真正建立起变量之间相互依赖、相互变化的观念。到了大学，情况突然变了。函数不再只是一个计算规则，而会变成被研究的对象，映射开始成为基本语言，变量不再只是等待代入的字母。集合、空间、结构、极限、连续性、线性性，也开始彼此连接。很多学生到这个时候才第一次强烈意识到：原来数学并不只是研究几个数怎么算。数学还在研究对象之间为什么会形成这样的关系。所以，很多人进入大学以后产生的那种断裂感，未必只是因为大学数学难。更深层的原因可能是：高中阶段没有充分完成从具体计算到抽象关系、从单个对象到整体结构的过渡。四、人工智能时代，这个问题变得更明显了今天再讨论中学数学，已经不能假装计算机和人工智能不存在。因为人工智能恰恰把很多过去显得抽象的数学思想，直接摆到了现实世界里，尤其是线性代数（数学专业的高等代数）中学里学方程，我们最熟悉的问题往往是：“未知数是多少？”但到了大学，一个方程组真正有意思的问题，会变成：它有没有解？解是不是唯一？如果有很多个解，这些解之间有什么结构？为什么某个矩阵的性质，会决定整个方程组的性质？这时候，数学已经不只是把一个数算出来。而是在研究变量之间的关系。这也是线性代数真正重要的地方，到了人工智能里，这种关系更加直观：图像可以组织成数组和张量，数据可以表示成向量和矩阵，声音经过处理后也可以变成数值向量，神经网络中的大量参数，本质上以矩阵和张量的形式存在，降维会涉及特征值、特征向量和奇异值分解。计算机图形学离不开线性变换，机器学习中的很多优化问题，也离不开高等代数。这时候再回头看中学数学，很容易产生一种强烈的感觉：我们花了很多时间学习计算一个变量，却很少认真地思考多变量的世界到底是什么样的。当然，这并不意味着中学生应该提前学完整的线性代数。我真正想说的是：为什么不能让一些线性代数的思想，更早进入中学数学？比如让学生知道：向量不仅仅是有大小和方向的量；矩阵也不仅仅是数字排成一个表格；矩阵可以表示一种变换；方程组不只是为了求未知数，也可以用来描述多个变量之间的关系。一个简单的二维矩阵，就可以让学生看到旋转、缩放、剪切。这并不是把大学数学硬塞进中学。恰恰相反，这是在寻找一条更自然的数学发展路径：变量 → 向量 → 矩阵 → 线性变换 → 多变量关系 → 数据。这条路，可能比“高中毕业以后，突然开始学线性代数”自然得多。五、所以，真正的问题不是“中学生要不要学矩阵”我并不认为中国数学教育的问题，可以简单归结成一句：“应该把矩阵加回来。”因为如果只是增加一个新的知识点，什么也不会真正改变。今天加矩阵，明天加概率，后天加微积分。如果课程还是按照“定义—公式—例题—练习”去开展，不断切成一个个互不相干的模块，那么增加内容，只会增加更多需要记忆的东西。真正应该改变的，不是知识点的数量，而是知识是怎样被组织起来的。学生应该看到：方程为什么会走向函数；函数为什么会走向映射；多个变量为什么会自然需要向量；多个线性关系为什么会自然产生矩阵；矩阵为什么能够表示变换；而变换为什么会成为计算机、数据科学和人工智能的重要语言。真正重要的，不是多学几个概念，而是让这些概念之间重新连起来。如果知识之间没有联系，再先进的内容，也只是新的考点。如果一个学生面对一道题，第一反应永远是：“这是哪个知识点？”第二反应是：“有没有二级结论？”第三反应是：“教材里有没有类似题？”那么他当然可能成为一个非常优秀的应试者。但这并不自动意味着，他真正理解了数学。因为数学最重要的能力，也许从来不是记得更多，甚至也不只是算得更快。而是看到一个问题以后，会自然地继续追问：为什么？能不能推出？如果条件改变，会怎样？有没有更一般的形式？它和我以前学过的东西有什么关系？这些问题看起来很简单。但它们其实构成了数学思维最基本的骨架。真正理解数学的人，并不只是知道答案。他还会追问这个答案从哪里来？还能走到哪里去？所以，中国数学教育真正值得讨论的，也许从来不是一道题究竟应该用高数方法、二级结论，还是教材方法。而是为什么我们如此执着于给一道题贴上“方法”的标签？为什么我们如此迷恋“秒杀”？为什么我们如此在意现成的结论？为什么教材里的知识一旦离开原来的章节，就很难被重新组合？为什么高中和大学之间，明明存在一条连续的数学思想发展路径，却在学生的学习经历里，被切成了两个世界？甚至在人工智能已经成为现实的今天，我们仍然在问：“中学生学矩阵到底有没有用？”也许这个问题本身就问错了。我们真正应该问的是：今天的孩子所处的世界，究竟需要他们理解什么样的数学？数学教育的目的，不应该只是让一个学生在考场上多做对几道题。更重要的是当他面对一个从未见过的问题时，他仍然相信，未知并不是一堵墙。因为可以从已知出发，可以建立关系，可以寻找结构，可以不断推导，可以一点一点，把未知变成可以理解的东西，这才是数学。

寬寬數學 2026-08-31

来自新浪微博

我做了个能触摸、毒舌傲娇、还比我懂游戏的AI桌宠

图灵的猫 2026-09-01

来自哔哩哔哩

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