公考培训 篇二：数量关系之巧解同余问题

近两年，一个被冷落多年的题型似乎重新受到了命题人的青睐，从2018年浙江的“比赛实际参赛者人数”，到2019年山东的“100个乒乓球”，同余问题似乎有了卷土重来的趋势。那么今天我们就一起来学习一下同余问题的巧解思路。

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【太长不看版】

同余问题核心口诀：“余同取余，和同加和，差同减差，最小公倍数做周期。没有相同优先代入，无法代入适当放弃。”

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一、初识同余问题

同余问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：

　　有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

翻译成现代汉语可以理解为：一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数是多少？

《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上问题的具体解法，因此在中文数学文献中也会将同余问题的解题方法称为孙子定理，也称作中国剩余定理。

同余问题在行测考试中常见的出题形式是：一个整数M，除以不同的除数会得到各自的余数。比如M除以A余a，除以B余b，除以C余c，……然后问M相关的一些情况。对于这样一类题目，我们可以根据不同的情况使用不同的技巧去解题。

二、巧解同余问题

第一类：特殊型用口诀

（一）余同取余

【2010年湖北第54题】三位数的自然数N满足：除以6余3，除以5余3，除以4也余3，则符合条件的自然数N有几个：

A.8 B.9 C.15 D.16

观察题干我们发现，N无论是除以6、5还是4，得到的余数都是3。那么我们就可以考虑将余出来的3先减掉，剩下的N-3应该是刚好整除6、整除5、也整除4。所以N-3应该是6、5、4的公倍数，也就是N-3=60n（n为正整数，下同），化简得N=60n+3。

结合题目要求自然数N是一个三位数，也就是100≤60n+3≤999，满足条件的n能取到最小值为2，最大值为16，共15个。n值和N一一对应，故符合条件的自然数N共有15个，选择C选项。

※技巧总结：遇到除数不同，余数相同的情况，余同取余：整数Ｍ＝除数公倍数+余数。

（二）和同加和

【例题】车间生产了一批不足150个零件，如果按每盒装入9个零件，还剩4个零件；如果按每盒装入11个零件，还剩2个零件，问这批零件一共有多少个？

A.103 B.112 C.121 D.123

理解题目，可以将题目简化为“一批零件M个，除以9余4，除以11余2，问M是多少？”

观察除数不同的时候余数不同，但如果我们这样考虑：按一盒9个装零件，少装一盒，也就是还剩余9+4=13个；同样的11个每盒也少装一盒，就会剩余11+2=13个。此时我们可以理解为这批零件M如果减去13个，则刚好被9和11整除，也就是9和11的公倍数99n，即M-13=99n，整理得M=99n+13。

此时题目要求M不足150，满足条件的n取值只有1，故M=99×1+13=112个，选择B选项。

※技巧总结：遇到除数不同，除数与余数之和相同的情况，和同加和：整数Ｍ＝除数公倍数+除数与余数之和。

（三）差同减差

【2019年山东第57题】一个盒子里有乒乓球100多个，如果每次取5个出来最后剩下4个，如果每次取4个最后剩3个，如果每次取3个最后剩2个，那么如果每次取12个最后剩多少个？

A.11 B.10 C.9 D.8

理解题目，可以将题目简化为“乒乓球共M个，除以5余4，除以4余3，除以3余2，问M是多少？”

观察余数条件，此时乒乓球数M除以5、4、3的余数不同，除数和余数的加和也不同，这可愁坏了不少同学。但是我们可以换一个角度来理解题目：一个盒子里有乒乓球100多个，如果每次取5个出来最后少1个，如果每次取4个最后少1个，如果每次取3个最后少1个。所以我们发现如果在M个乒乓球的基础上再增加1个乒乓球，就分别整除5、4、3，即M+1=60n，则M=60n-1。

结合题目问每次取12个剩余多少，60n是12的倍数，也就是说若是60n个乒乓球，刚好取完；那么60n-1个乒乓球，最后会少一个，也就是会剩余11个乒乓球，选择A选项。

※技巧总结：遇到除数不同，除数与余数之差相同的情况，差同减差：整数Ｍ＝除数公倍数-除数与余数之差。

第二类：一般情况靠代入

（一）选项代入

【2019年湖北选调第93题】吕某回乡开办土鸡养殖基地，某天他收获一筐土鸡蛋。每4个一组取出则多2个；每5个一组取出则少1个；每6个一组取出则刚好；每7个一组取出多1个。已知一筐最多能装500个土鸡蛋，如果每6个一组取出，需要多少次刚好取完？

A.67 B. 69 C.70 D.72

理解题目，可以将题目简化为“土鸡蛋不足500个共M个，除以4余2，除以5少1，除以6整除，除以7余1，问M是多少？”

遇到这种除数和余数找不到明显关系的情况，对于多数题目，我们可以根据选项进行代入，比如土鸡蛋这道题，依次代入选项，若是A项每6个一组取出67组，则共有鸡蛋6×67=402个，此时每5个一组取出则应该是少3个，与题干条件矛盾，排除；同理可以排除CD选项，所以正确答案为B项。

※技巧总结：遇到除数与余数无明显关系的情况，优先考虑选项代入。

（二）逐步满足

【2018年浙江B第71题】某次比赛报名参赛者有213人，但实际参赛人数不足200。主办方安排车辆时，每5人坐一辆车，最后多2人；安排就餐时，每8人坐一桌，最后多7人；分组比赛时，每7人一组，最后多6人。问未参赛人数占报名人数的比重在以下哪个范围内？

A.低于20% B.20%～50%之间

C.25%～30%之间 D.高于30%

理解题目，可以将题目简化为“实际参赛人数M不足200，除以5余2，除以8余7，除以7余6，问M是多少？”

三组除法无法直接找到相同的关系，那可以考虑先找到能满足两个条件的M。观察发现“除以8余7，除以7余6”可以理解为“除以8少1，除以7少1”，也就是差同的情况，那我们先让M满足这两个条件，根据差同减差的口诀可确定M=56n-1。

再让M=56n-1满足第三个“除以5余2”的条件，分析n可能的取值情况。代入n=1，M=55，不满足除以5余2，排除；同理代入n=2，M=111，排除；代入n=3，M=167，满足除以5余2，此时我们发现167就是同时满足三组余数条件的。

同时167也满足了题干中“实际参赛人数不足200”的范围，则题目所求未参赛人数占报名人数的比重=（总人数-参赛人数）/总人数 =（213-167）／213 =46/213，约等于21.6%，选择B项。

这种逐步满足的方法可以解决所有余数与同余问题，但是考场上这种方法操作起来比较慢，所以如果在考场上真的遇到无法用技巧或代入快速解决的余数与同余问题，建议放弃，不要浪费时间。

※技巧总结：遇到除数与余数无明显关系的情况，可以逐步满足条件：先满足两个条件找到M=两个除数最小公倍数×n+满足两个余数条件的最小值。再通过依次试代n的值，找到M能满足第三个条件的最小n1，确定M1；此时可以得到满足三个条件的M=三个条件的最小公倍数×n+满足三个条件的最小值M1；以此类推，直到找到M能满足题干的全部余数条件。

经过这篇文章的学习，你会解《孙子算经》中的“物不知数”问题了吗？