化解未来小学应用题的痛苦，从连续“数量”的数学认知开始

好久没聊数学了，我们总说，启蒙阶段和未来的学校教育之间有着很重要的关系，这种关系不是说提前上课，而是打好基础。今天举个例子，聊一下数学启蒙和很多家长在小学“中段”会遇到的一种焦虑：解应用题。

在小学三四年级，我们会比较常看到这种类型的应用题：爸爸比小明大26岁，2年前爸爸的年龄是小明的3倍，问小明现在几岁

对于大部分家长来说，这种题目最简单的解法就是列个方程：

x+26=（x-2）*3+2

但在小学五年级之前，数学课是没有教未知数方程的，也不允许提前教孩子使用方程进行解题。这让很多家长在辅导孩子学数学的时候很郁闷。

我们也提到过，这种教学顺序的设置，其实是有原因的 —— 在数学教育的初期，应该更注重数和形的结合，如果过早的采用抽象和纯计算的方程来进行解题，会减少孩子对于数学的形象认知，从而对未来更深层的数学知识造成认知困难。（这个我们可以某个周末和大家聊聊，比如从数形结合的角度，如何理解虚数等比较深的数学概念。）

目前的小学数学教材，在学习方程之前，解应用题的主要方式之一，是线段图。比如上面那道题，会画成下面这种线段对比图，用这种方法来解题。

类似的题目还有很多，比如：三个小朋友跳绳，一共跳了92下，其中小军比小明多跳了8下，小荣比小军多跳了10下，问三个人各跳了几下。用线段图解题，就是画成下面一样。

这种线段解题法，是很多孩子在小学三四年级会遇到的难点，而很多家长们小时候也没接触过这种解题方式，或者可能忘了，自己辅导起来也有点晕。

那这种看起来很辛苦的解题方法的意义是什么呢？

首先我们想一下，“数”是什么。

最初，我们学习的数就是从1数到10，然后100，这些自然数；然后多了个0；之后又学了分数，小数，负数，到了中学，又学习了无理数，然后又是虚数。当然，还有可能接触到超越这些数的概念。

这里其实有一个有趣的规律 —— 我们接触数是从自然数 → 有理数（整数+分数） → 实数（有理数+无理数） →复数（实数+虚数）这样的顺序开始。

而在数的海洋中：

每一个自然数，对应无穷多个有理数（两个整数之间you无穷多个分数）；

每一个有理数，对应无穷多个实数；

每一个实数，对应无穷多个复数。

所以，虽然数苹果是每个人最开始接触数字的主要方式，但不能把认数，简单的等同于从1开始认自然数，因为这只是无穷多分之一的无穷分之一的无穷分之一的数。

不过在小学一二年级，主要也是靠类似数苹果的方式进行数学教育的。

但到了三四年级，分数和小数的概念开始进入教材，也就是说，孩子们脑中的“数”，不仅仅是一个个自然数的点，而是要把自然数连成一条线。在两个自然数的点中，需要补充进去密密麻麻的分数和小数。

所以“线段图”解题法，就很符合这个阶段的教育要求了。

我们再看看前面那道题的线段图，这里蕴含的教学目标，其实是让小朋友将数的认知，从一个个的苹果、书本、铅笔，变成一条线，也就是之后会接触到的：数轴。

那这个和数学启蒙的关系是什么呢？

我们在以前就说过很多次，在数学启蒙中，核心不是从1数到几，而是了解数量、形状、尺寸、组合、时间、模式、组织归纳等数学概念。

很多时候，家长一听到数形结合，从具象到抽象，这些数学启蒙的指导，马上想到的就是数苹果，数小熊。但如果只是数数字，不管是用苹果还是用小熊，孩子的确可以通过强化记忆，很快从1开始背，但这样的副作用，就是强化了数=一个个的“点”的概念，无法将数从点连成一条线。

从具象到抽象的意思，并不是说，就是“用苹果数数字”，而是说用具体的事物，来感知抽象的数学概念。

那如何做数学启蒙，从跳跃的自然数概念，变成连续的数轴概念呢？其实就是别忘了“数量”中还有一个“量”字。

因为我们总觉得数量就是数，就是自然数，忘了数量的意思是用数来表示量，核心其实是落在“量”上。

什么是“量”？

量是一个自然科学概念，高冷一点的解释是“幅度和重次”。“重次（重复次数）”其实就是一个个的重复计数次数。我们叫它是离散的，最终会变成，一个个人，一个个积木，一个个基本粒子。而“幅度”则是连续的，是对事物状态的描述，比如重和轻，长和短，宽和窄，大和小，多和少。

启蒙离散的“重次”比较好理解，就是数东西。而启蒙连续的“幅度”，就需要一些道具了。

最直观的是丈量长度，用软尺，或者一根绳子，这就是最简单的“幅度”。软尺就是我们日常生活中最常见的“数轴”，自然也是小朋友最初也是最方便感知“数量”的一种方式。

在学习数的时候，使用积木、小熊这些来练习计数是必要的，但同时也需要用连续的整体来进行“数量”概念的了解，比如不用1个积木和3个积木来对比1和3，而是用体积为1的积木，对比体积为3的积木。

除了积木体积的区别，液体也是很好的“连续”数量感知辅助教具。比如拿一个小杯子装水往一个空的饮料瓶里倒，倒一杯就标记一格，这样就可以制作自己的“容量瓶”，然后再尝试怎样添加水，刚好满x格。

而我们身边最常见的连续概念，其实是逝者如斯夫的时间，各种快慢的感知，也是连续的数量认知。可以和小朋友一起打开手机的秒表计时器做游戏，看看谁能最准确的在某个时间，比如5秒点下去。这就是很好的连续数量认知的启蒙。

当然，数量的连续性认知，并不仅仅是为了做几道小学应用题，对于初中、高中的数学知识也是很重要的基础。我们最近几周的周末，暂停一下语文课，来聊这个吧。

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