高中概率简单入门（二）

第二部分 样本空间和几何概率模型

1、样本空间是指概率问题中所有可能发生的事件

设一个随机试验共有 n 个样本点，如果事件 A 包含其中的 k 个样本点，那么在一次随机试验中事件 A 发生的概率 P(A)，等于事件 A 包含的样本点的数量 n(A)=k 与全部样本点的总数 n(Ω)=n 的比值：，用公式表示为：P(A)=n(A)/n(Ω)=k/n​

例题1 掷一枚骰子，规定基本事件为朝上的点数，求：（1）全体基本事件；（2）基本事件的数量；（3）基本事件发生的概率；（4）质数朝上的概率。

分析：（1）全体基本事件为：1，2，3，4，5，6。（2）n(Ω)=6 。（3）每个基本事件发生的概率都是1/6。（4）“质数朝上” 对应的事件为 A={2,3,5}，n(A)=3，P(A)=n(A)/n(Ω)​=3/6​=1/2​ 。

例题2 [2010·山东]一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的 编号分别为1,2,3,4。 (1)从袋中随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率； (2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n

分析：（1）样本空间中的事件总数为

=6，事件A：编号之和不大于4，包含的组合有（1,2）和（1,3），n(A)=2，所以概率为2/6=1/3;

（2）这次是取球后放回去，所以样本空间的事件总数为4*4=16

下面列出全部 n

当 m=1 时，n<3，有 (1,1),(1,2)，共 2 个；

当 m=2 时，n<4，有 (2,1),(2,2),(2,3)，共 3 个；

当 m=3 时，n<5，有 (3,1),(3,2),(3,3),(3,4)，共 4 个；

当 m=4 时，n<6，有 (4,1),(4,2),(4,3),(4,4)，共 4 个；

所以事件 B 所含有的基本事件数为：2+3+4+4=13 个 。

事件B的概率为13/16

2、几何概率模型

如果一个随机试验满足下面两个条件，那么这样的概率模型叫做几何概率模型，简称几何概型：

条件1：基本事件有无穷多个，即样本空间为无限集；

条件2：所有基本事件发生的概率都相同。

现实生活中，适用几何概型的情况通常与长度、面积、体积等几何概念有关。例如，飞镖的靶子是一个半径为r的圆，假设飞镖总是能命中靶子但落点是随机的，将飞镖的落点到靶心的距离作为试验的结果，那么该实验的基本事件是靶子上所有的点到靶心的距离Ω=[0,r ]，是一段连续的实数区间，也是一个无限集。将事件A规定为：飞镖落点到圆心距离小于等于a，即A=[0，a ]。

这个例子中，样本空间为整个圆盘的面积：n(Ω)=πr2，事件A：到圆心距离小于等于a的空间，是半径为a的圆，面积为：n（A）=πa2；因此事件A发生的概率为

P(A)=n(A)/n(Ω)=πa2/πr2=a2/r2

例题3 [2014・辽宁] 若将一个质点随机投入如图所示的长方形中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）
A. π​/2   B. π​/4   C. π/​6   D.π /8

分析：矩形的面积为2，半径为1的半圆面积为π​/2，落在半圆内的概率为半圆面积/半圆面积=π​/4

例题4 [2021・全国乙] 在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于7/4​的概率为（）
A.  7​/9             B.  23​/32         C.  9​/32           D.  2​/9

分析：假如x取自区间(0,1)，y取自区间(1,2)，（x,y）落点区域如下图，在矩形abcd中

若x和y之和大于7/4，则（x,y）落点在阴影面积内

所以所求概率=阴影部分面积/矩形abcd面积=23/32

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