万卷书 篇二十一：信仰——《数学简史：确定性的消失》

对任何一门知识的学习，就是对一门只是确定性的消失吧。

多少我们曾认为颠扑不破的真理，最后深入进去却疑点重重。

但，这不正是学习的乐趣么。

学习从来不是活的某个确定的东西，而是让你对之前的信誓旦旦终于产生怀疑。

原来，这个世界是有另一重可能的。

学习的乐趣，不就是寻找可能性的乐趣么。

这是我开始看的第一本专门讲数学的书，当然，课本除外。

里面还有很多没办法看懂只能跳过的地方，但是，所有的学问真的，都能有一种哲学的升华，有思辨的乐趣，从这点看，很多东西都是相通的。

还会继续看几本相关书籍，希望能有更多新的收获。

不知道现在还有多少人会在洗澡的时候吼一声：爱是一种信仰~~~

其实，不仅是爱，任何一种能让我们产生敬畏感的东西，都能让我们产生一种类似宗教性的信仰。

你可以认为数学是一门语言，一门数学家之间交流的语言，但我更愿意认为数学是一门哲学，一门所有人都能从中获得思考的哲学。

当这门哲学不断地形而上，碰上某个类似终极问题的时候，你会像发现上帝一样惊叹，然后产生由衷的敬畏和虔诚。

就像认为万物皆数的古毕达哥拉斯学派，处死了发现无理数，动摇了他们宗教根基的希帕索斯。无理数，是破坏他们信仰的魔鬼。

现在我们知道，科学的进步就是不断发现魔鬼，然后验证其是否有可能是天使乔装的过程。科学是一条不断在证伪的路。数学也是如此。

我们多少人曾和拉普拉斯一样信誓旦旦，给定一个状态就能通过数学计算的方式推导出整个宇宙的前世今生。

但就像量子物理的不确定性原理一样。数学也有一个叫哥德尔不完备定理的诅咒。

包容性是以不完备性为代价的。原来，严谨的数学，纯粹的智力游戏，竟然也让自己的确定性高楼在眼前崩塌。

有点像爱情是不是，我能包容你的一切，你却依然觉得我对你的爱不够。

所以我们这些在爱里患得患失的人啊，才会这么迷惘失措，不应该能有一个公式，让对方爱上我么，或者我到底应该满足什么条件，他才会相信我？

有些人选择不停付出，不断试错，他坚信一分耕耘一分收获，没有功劳至少有苦劳能被看见。

有些人成为命运的善男信女，他们自以为追寻命运的指引，看穿他留下的蛛丝马迹，得之我幸，失之我命。

在这样的探寻中，从来没有人能全身而退，那些自以为掌握了通关秘籍的所谓幸运儿，他们的经验没有可复制性，旁人甚至会觉得，短暂的成功，不过是因为时间不够长。

也许，对于信仰最好的坚持，不是试图去理解，不是试图去接受，而是用每一天的修行去经历和信仰的同生同灭，最后能真正认清自己时候。

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书摘：

区分了空间的“无界”( boundlessness)和“无限”(infiniteness(球的表面是无界但不是无限的) P104

一种代数总是为了表示一类物理世界的现象而创造的,正像我们上面的分数加法适用于两次击球平均率的合成。我们可以通过定义适合于这类物理现象的运算很方便地对物理世界发生的事情进行研究,。只有经验能告诉我们普通的算术何处可应用于给定的物理现象,这样就不能说算术是一定适用于物理现象的一个真理体系。当然,由于代数和分析是算术的延伸,它们也不是真理体系。

因此,数学家们只能得出这个令人沮丧的结论:数学中没有真理,即作为现实世界中普适法则意义上的真理。算术和几何基本结构的公理是受经验启发得出的,因而这些结构的适用性是有限的,它们在哪里是适用的只能由经验来决定。希腊人试图从几条自明的真理出发和仅仅使用演绎的证明方法来保证数学的真实性被证明是徒劳的。 P114

这是因为数学家们没有认识到这些概念（负数、复数等）不是来自直接经验,而是心智的创作。
换句话说,数学家们是在贡献概念而不是从现实世界中抽象出思想。究其成因,他们是将感性知识转变为理性知识。 P167

他明确而坚定地认为,我们应当放弃直觉,而这只有用操作符号运算才能做到一一符号避免了普通词语间一一由直觉联系带来的危险。 P228

“哥德尔不完备性定理”( Godelincompletenesstheorem)。这一定理表明,如果一个形式理论T足以容纳数论并且无矛盾,则T必定是不完备的。

相容性是以不完备性为代价的。 P317

一则寓言恰如其分地概括了20世纪有关数学基础的进展状况。在莱茵河畔,一座美丽的城堡已经矗立了许多个世纪。在城堡的地下室生活着一群蜘蛛,突然一阵大风吹散了它们辛辛苦苦编织的一张繁复的蛛网,于是它们慌乱地加以修补,因为它们认为,正是蛛网支撑着整个城堡。 P336

他指出,纯数学家可以不辞辛苦地证明问题的解的唯一性,却不去求解。物理学家知道解的唯一性一一地球不沿两种轨道运行一一而他则力图找到实际的轨道。 P363

最早创建数学的埃及和巴比伦数学家们根本不会有能力须见到他们会建立一个什么样的结构,因此他们没有为数学打下一个坚实的“地基”,而是直接建立在“地面”上。那时,“地面”看起来似乎就提供了一个可靠的基础。他们用来建造数学大厦的材料,即关于数学和几何图形的事实,取自关于土地测量的一些简单经验。现在我们对术语“几何”,即土地测量的使用就点出了数学的这个起源。 P372

直觉甚至比逻辑更令人满意和放心。当一个数学家问自己为什么某个结果站得住脚时,他寻求的是一种直觉的理解。事实上,如果所证出来的结果没有直觉意义,那么这种严密证明对他来说就一文不值。如果确实是这样,他就会非常挑剔地检查证明,如果证明看来是对的,他才会努力去找出直觉上的毛病。数学家们总想弄清楚一系列的演绎推理之所以成功的内在原因。庞加莱说过:“当一个比较长的论证导出了一个简单的、惊人的结果后,在我们证明了我们可以预见的,即使不是全部结果,至少也是主要特征之前,我们是不会满意的。” P379

帕斯卡在他的《思想录》中说得好:“理性所走的最后一步就是承认有无穷多的事物超出了其认识的范围。” P386

历史支持这种观点:没有固定的、客观的、唯一的数学体系。进一步地说,如果历史具有某种指导作用,将会不断有新的内容添入数学之中,因而呼唤新的基础。在这方面,数学就像任何一门自然科学。 P388

只能被证伪不能被证实

科学是合理化的虚构，而正是数学才使之合理化。 P409

用以阐述物理定律的数学语言所表现出的恰如其分是一个奇迹，它是我们不明白也不配拥有的令人惊叹的礼物。我们应为此感到高兴,不管怎么样,我们希望它在将来的研究中继续有效,并且能继续发展,变得令我们更满意。即便它同时可能会使我们迷惑不解,但它也以此拓宽了我们的知识面。 P423

数学的成功是有代价的,代价就是把世界用长度、质量、重量、时间等简单概念来看待。这样的解释是不足以表示丰富多彩的体验,就如同一个人的身高并非此人本身一样。数学最多只描述了自然的某些过程,但其符号并未容纳所有的一切。 P425