三门问题--概率奇妙多

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--于2021年7月4日星期日

最近也是机缘巧合之间，又碰到了这个问题，这个问题也确实有趣，也曾经折磨我一段时间，然而这次碰到第一思路竟然又错了。所以觉得有必要把这个东西写下来，一方面巩固自己的知识，另一方面也看看能不能帮助更多的人，让看到此文的小伙伴少走点我走过的坑。

首先，你知道什么是三门问题吗？

三门问题

下文引自百度百科：“三门问题（MontyHall problem）亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自美国的电视游戏节目Let'sMake a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（MontyHall）。参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得汽车的机率。”

看到上述问题你怎么想，如果你是参赛者，你会选择换另一扇门吗？

如果你读到这里，希望你停下来想一想。这是一个不错的好问题，也是一个训练思维的好问题，尽量不要一上来就看我的结论。如果你已经有了大概的结论，或者苦思冥想之后摸不到头脑，那就请继续看下去吧。

我先说说我的第一反应吧。我的反应是，假设一开始选择了一个门A，后续主持人帮助排除了一个错误答案门B，其实这个时候样本空间已经变成了门A和门C了，这不就幸福二选一吗？选A和选C概率都一样啊，这不就是说换与不换都一样吗？都是0.5吧？

哈哈如果你跟我一样的想法那你就错了。

这个时候最优策略是换门，接下来听我慢慢道来。

法一：

如果选择换门策略共有三种等可能的情况：

参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。换门将赢得汽车。

参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。换门将赢得汽车。

“参赛者挑汽车，主持人挑羊一号。转换将失败”，和“参赛者挑汽车，主持人挑羊二号。转换将失败。”此情况的可能性为：

P = 1/3 * 1/2 + 1/3 * 1/2 = 1/3

此时换门赢得汽车的概率是2/3.

不换门赢得汽车的概率显然为1/3.

法二：

另一种思路，是选羊。如果执行换门策略。只需选择一扇有羊的门，概率2/3，主持人其后必定会开启另外一扇有山羊的门，消除了换门选择后选到另外一只羊的可能性，所以赢得汽车的概率是2/3，与初次选择时选中有山羊的门的概率一样。

法三：

是通过贝叶斯定理严格推导。牵扯到三个随机事件，一个是汽车在哪扇门记为（X=ABC），和选择哪扇门(Y=ABC)，以及换不换门(Z=01)。

需要比较P(X=Y|Z=0)和P(X≠Y|Z=1)的大小

P(X=Y|Z=0)

=P(X=A)P(X=Y|Z=0,X=A)+P(X=B)P(X=Y|Z=0,X=B)

+P(X=C)P(X=Y|Z=0,X=C)

=1/3*(1/3+1/3+1/3)

=1/3

P(X≠Y|Z=1)

=P(X=A)P(X≠Y|Z=1,X=A)+P(X=B)P(X≠Y|Z=1,X=B)

+P(X=C)P(X≠Y|Z=1,X=C)

=1/3*(2/3+2/3+2/3)

=2/3

三种方法也是类似的，有什么问题随时欢迎交流。

如果错误，欢迎批评指正。

注：

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